Black-Scholes eşitliği, finansal piyasalarda Avrupa tipi opsiyonların fiyatlandırmasında kullanılan matematiksel bir formüldür. Bu denklem, opsiyon fiyatının dayanak varlığın fiyatına, faiz oranına, vadeye ve oynaklığa bağlı olduğunu varsayar. Denklem, 1973 yılında Fischer Black ve Myron Scholes tarafından geliştirildi. Bu denklem, finans dünyasında bir devrim yaratmış ve opsiyonların fiyatlandırılması ile risk yönetimi konularında büyük bir dönüşüm sağlamıştır. Mevcut durumda ise finansal piyasalarda yaygın olarak kullanılmaktadır.
Black-Scholes denklemi, bir opsiyonun fiyatını hesaplamak için gereken faktörleri matematiksel olarak birleştirir. Bu denklem, opsiyonun satın alındığı andaki dayanak varlığın fiyatı, opsiyonun vadesi, risksiz faiz oranları, opsiyonun kullanım fiyatı ve dayanak varlığın oynaklığı gibi faktörleri hesaba katar.
Bu denklem, finansal işlemlerde birçok avantaj sağlar. İlk olarak, bu denklem sayesinde yatırımcılar opsiyonlarının doğru değerlerini hesaplayabilirler. Bu, yatırımcıların risk yönetimi stratejileri geliştirmesine yardımcı olur. İkincisi, Black-Scholes denklemi volatiliteyi dahil ederek opsiyon fiyatlandırmasında bir standart belirlemiştir. Bu sayede yatırımcılar, farklı opsiyonlar arasındaki kıyaslama yapabilirler.
Black-Scholes Eşitliği Nasıl Kullanılır?
Black-Scholes eşitliği, aşağıdaki unsurları içeren bir opsiyonun değerini hesaplamak için kullanılır:
- Hisse senedi fiyatı
- Uygulama fiyatı (opsiyonun kullanım fiyatı)
- Vade süresi
- Risksiz faiz oranı
- Hisse senedinin volatilitesi (değişkenliği)
Bu beş unsuru kullanarak, bir çağrı veya koyma opsiyonunun teorik olarak adil fiyatını tahmin edebilirsiniz. Bu teorik fiyat, piyasadaki aktüel fiyattan farklı olabilir.
Black-Scholes formülü aşağıdaki gibidir:
C = S x N(d1) – X x e^(-rT) x N(d2)
Burada,
- C: Opsiyonun teorik fiyatı (çağrı opsiyonu için kullanılır)
- S: Hisse senedi fiyatı
- X: Uygulama fiyatı
- r: Risksiz faiz oranı
- T: Vade süresi (yıl cinsinden)
- d1 ve d2: hesaplamalar için kullanılan terimlerdir ve aşağıdaki gibidir:
d1 = [ln(S/X) + (r + σ²/2)T] / (σ√T) d2 = d1 – σ√T
Burada,
- σ: Hisse senedi fiyatının volatilitesi (değişkenliği)
- ln: Doğal logaritmayı ifade eder
- N: Standart normal dağılımdaki kümülatif yoğunluk fonksiyonudur.
Bu formül, hisse senedi opsiyonlarının teorik değerlerini hesaplarken sıkça kullanılır.
Black-Scholes Modelinin Temel Hipotezleri
Black-Scholes modeli, opsiyonların fiyatlandırılması için kullanılan en yaygın matematiksel modellerden biridir. Modelin temel hipotezleri şunlardır:
- Hisse senedi fiyatları rastgele hareket eder: Black-Scholes modelinin ilk hipotezi, hisse senedi fiyatlarının rastgele hareket ettiğidir. Bu hipotez, doğru olduğu kabul edilen bir finansal kavram olan “rassal yürüyüş” teorisine dayanmaktadır.
- Opsiyonun vadesi boyunca hisse senedi fiyatlarındaki değişimler normal dağılır: Black-Scholes modelinin ikinci hipotezi, hisse senedi fiyatındaki değişimin belirli bir dönem içinde normal bir dağılıma sahip olduğunu varsayar. Bu hipotez, piyasada herhangi bir zaman dilimi içinde gerçekleşen birçok farklı faktörün etkilerini ortadan kaldırmak için kullanılır.
- Opsiyonun fiyatı, riskten arındırılmış bir faiz oranına göre indirgenebilir: Black-Scholes modelinin üçüncü hipotezi, opsiyonun değerinin, belirli bir riskten arındırılmış faiz oranına göre indirgenebileceğidir. Bu hipotez, gelecekteki nakit akışlarının bugünkü değerini hesaplamak için kullanılır.
- Hisse senedi fiyatı, risksiz oranda sabit bir getiri sağlar: Black-Scholes modelinin dördüncü hipotezi, hisse senedinin risksiz oranda sabit bir getiri sağladığını varsayar. Bu hipotez, opsiyonun değerini hesaplamak için gerekli olan “riskten arındırılmış” getiriyi hesaplamaya yardımcı olur.
- Opsiyonun kullanım fiyatı ve vadesi bellidir: Black-Scholes modelinin beşinci hipotezi, opsiyonun kullanım fiyatı ve vadesinin bellidir. Bu hipotez, opsiyon fiyatlandırmasında kullanılacak tüm değişkenlerin belirlenmesine yardımcı olur.
Bu hipotezler, Black-Scholes modelinin temelini oluşturur ve opsiyonların belirli koşullar altında nasıl fiyatlandırılacağını belirlemek için kullanılır. Ancak, bu model gerçek dünyadaki piyasa koşullarını tam olarak yansıtmayabilir, bu nedenle doğru sonuçlar elde etmek için diğer faktörlerin de dikkate alınması gerekebilir.
Sonuç olarak, Black-Scholes denklemi finansal piyasalarda önemli bir rol oynamaktadır. Bu denklem sayesinde opsiyonların doğru fiyatlandırılması mümkün hale gelmiştir ve bu da finansal risklerin daha iyi yönetilmesine olanak sağlamıştır.
